Nếu ai hỏi tôi hai thiên tài nào kiệt xuất nhất trong cuộc chạy đua vật lý lý thuyết thế kỷ 20, chắc chắn là Dirac và Feynman. Nếu ai hỏi tôi hai thiên tài nào đối lập và bù trừ nhau một cách hoàn hảo, chắc chắn là Dirac và Feynman.

Hiếm có cặp đôi nào lại tỏa sáng rực rỡ và đối lập như Paul Dirac và Richard Feynman. Họ là hai đỉnh cao trí tuệ, hai phong cách tư duy khác biệt một trời một vực, nhưng lại cùng nhau định hình nên phần lớn hiểu biết hiện đại của chúng ta về thế giới lượng tử. Có một hình ảnh (...tôi tự nghĩ ra) ở mục Gems mà tôi rất tâm đắc: Một người giao tiếp với Chúa trong bóng đêm, còn người kia thì nhìn thấy Chúa. Kể về họ không chỉ là kể về các công trình vật lý đồ sộ, mà còn là kể về hai cuộc đời phi thường, hai cá nhân xuất thần với những câu chuyện đáng ngưỡng mộ.

Hai khởi đầu khác biệt

Paul Dirac

Paul Adrien Maurice Dirac sinh năm 1902 tại Bristol, Anh. Tuổi thơ của ông không hẳn là dễ dàng. Người cha nghiêm khắc, một giáo viên tiếng Pháp nhập cư từ Thụy Sĩ, áp đặt một quy tắc kỳ lạ: ông chỉ nói tiếng Pháp với Dirac, và yêu cầu Dirac cũng phải đáp lại bằng tiếng Pháp. Nếu Dirac không biết diễn đạt điều gì đó bằng tiếng Pháp, cậu được dạy rằng tốt hơn hết là nên im lặng. Còn mẹ ông lại nói tiếng Anh, môi trường ngôn ngữ chia rẽ và sự nghiêm khắc này được cho là đã góp phần hình thành nên tính cách kiệm lời đến mức gần như bệnh lý của Dirac sau này.

Ông học cách chỉ nói khi thực sự cần thiết, và khi nói, từng từ ngữ đều được chính xác và súc tích. Sự im lặng trở thành vỏ bọc, và có lẽ cũng là không gian riêng để ông tự do suy tưởng. Truyện kể rằng ở Cambridge, các đồng nghiệp đã đùa nhau định nghĩa một đơn vị đo tốc độ nói là "một Dirac" – tức là khoảng một từ mỗi giờ.

Con đường học vấn ban đầu của Dirac lại không phải là vật lý lý thuyết. Ông học ngành kỹ thuật điện tại Đại học Bristol, một ngành học thực tế (hay... thực dụng) do ảnh hưởng từ người cha. Song, nền tảng kỹ thuật này đã trang bị cho ông tư duy logic, sự chú trọng vào tính chính xác và khả năng giải quyết vấn đề một cách có hệ thống. Nhưng sâu thẳm bên trong, toán học và những câu hỏi cơ bản về tự nhiên mới là niềm đam mê thực sự.

Sau khi tốt nghiệp kỹ sư hạng nhất, ông nhận ra ngành kỹ thuật không thoả mãn trí tò mò của mình. May mắn thay, ông được phép học thêm bằng toán học tại chính Đại học Bristol, và sau đó, tài năng xuất chúng đã giúp ông giành được học bổng danh giá đến St John's College, Cambridge vào năm 1923. Dưới sự hướng dẫn của Ralph Fowler, một người tiên phong trong việc đưa các ý tưởng lượng tử mới từ châu Âu lục địa về Anh, Dirac nhanh chóng hòa nhập vào môi trường học thuật sôi động bậc nhất thế giới lúc bấy giờ. Nhưng ông hòa nhập theo cách riêng của mình – lặng lẽ quan sát, tự mình nghiền ngẫm, và rồi bất ngờ đưa ra những công trình làm thay đổi cả lĩnh vực.

Richard Feynman

Cách đó 16 năm 4000km về phía tây, Richard Phillips Feynman chào đời vào năm năm 1918 tại một khu phố khiêm tốn ở Far Rockaway, New York. Sự tương phản của hai thiên tài đã bắt đầu từ tuổi thơ khi cha ông, Melville Feynman, một người bán đồng phục nhưng có tình yêu khoa học sâu sắc, đã nuôi dưỡng sự tò mò của con trai bằng một phương pháp giáo dục độc đáo. Ông không bao giờ chỉ đơn thuần đưa ra câu trả lời hay tên gọi. Khi chỉ cho Richard một con chim, ông sẽ nói: "Nhìn con chim đó kìa. Dù con biết cách gọi con chim trong 100 ngôn ngữ, nó vẫn không quan trọng. Điều quan trọng là nó đang làm gì. Tại sao nó lại rỉa lông? Tại sao nó bay theo cách đó?". Ông dạy Feynman cách quan sát, cách đặt câu hỏi, cách suy luận về nguyên nhân và cơ chế hoạt động của thế giới xung quanh.

Feynman lớn lên với niềm vui thích mày mò, sửa chữa những chiếc radio cũ hỏng (ông trở thành tay sửa radio cừ khôi trong khu phố từ khi còn nhỏ), tự làm các thí nghiệm hóa học đơn giản, và luôn tìm cách hiểu mọi thứ từ gốc rễ. Ông không chấp nhận kiến thức được truyền đạt một cách thụ động; ông muốn tự mình khám phá ra nó. Mẹ ông, Lucille, cũng góp phần với sự hài hước và cái nhìn thực tế về cuộc sống. Khi mẹ ông được hỏi rằng "bà không sợ con bà sẽ đốt cháy cả ngôi nhà sao", bà đã trả lời rằng "không, tôi sợ giết chết sự tò mò của nó thôi". Đó là một câu trả lời rất Feynman.

Tinh thần ham học hỏi và thực nghiệm này tiếp tục bùng cháy khi Feynman vào học tại Viện Công nghệ Massachusetts (MIT). Ông nhanh chóng nổi tiếng trong giới sinh viên và giáo sư không chỉ vì sự thông minh mà còn vì cách tiếp cận vấn đề độc đáo, thường bỏ qua các phương pháp chuẩn mực để tìm ra lời giải nhanh hơn hoặc trực quan hơn. Ông thích thú với việc tự mình suy ra các định lý thay vì chỉ học thuộc. Chính trong thời gian này, những hạt mầm cho các ý tưởng lớn sau này đã bắt đầu nảy nở.

Sau MIT, Feynman đến Đại học Princeton để làm nghiên cứu sinh dưới sự hướng dẫn của một nhà vật lý lỗi lạc khác, John Archibald Wheeler – một người cũng có tư duy độc đáo và luôn khuyến khích những ý tưởng táo bạo. Môi trường ở Princeton, với sự hiện diện của cả Einstein (dù Feynman ít tương tác trực tiếp), càng thúc đẩy Feynman đi sâu vào những câu hỏi nền tảng. Chính Wheeler đã giao cho Feynman đề tài nghiên cứu về Least Action Principle (Nguyên lí Tác động Tối thiểu) trong cơ học lượng tử (quantum mechanics), một chủ đề dường như sinh ra để dành cho tư duy trực quan và thích đi ngược lối mòn của Feynman.

Dirac và cuộc cách mạng lượng tử

Sự ra đời của Dirac Equation

Thập niên 1920 chứng kiến sự bùng nổ của cơ học lượng tử. Tại giai đoạn này, có hai trụ cột chính là:

1. Cơ học ma trận (matrix mechanics) của Heisenberg, Born và Jordan – tập trung vào các đại lượng đo được (observable), như mức năng lượng, cường độ vạch quang phổ, v.v. và mối quan hệ toán học giữa chúng thông qua các ma trận
2. Cơ học sóng (wave mechanics) của Schrödinger, mô tả trạng thái lượng tử bằng một hàm sóng liên tục biến đổi theo thời gian tuân theo phương trình Schrödinger

Hai cách tiếp cận này, một dựa trên đại số trừu tượng, một dựa trên phương trình vi phân quen thuộc hơn, đều thành công vang dội nhưng lại hoàn toàn trái ngược. Dẫu vậy, mỗi người đều khẳng định công trình của mình là đẹp và tinh tế hơn (LOL).

Giữa lúc này, Paul Dirac, một nghiên cứu sinh trẻ tại Cambridge đã có một trong những đóng góp đầu tiên và quan trọng nhất. Chỉ vài tháng sau khi Heisenberg công bố bài báo về cơ học ma trận năm 1925, Dirac đã nhận ra một mối liên hệ sâu sắc. Ông thấy rằng thuộc tính không giao hoán (non-commutative) kỳ lạ của các ma trận Heisenberg $pq \neq qp$ có cấu trúc toán học tương tự như dấu ngoặc Poisson (Poisson bracket) $\{A, B\} = \frac{\partial A}{\partial q} \frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q}$ trong cơ học cổ điển Hamilton (Hamiltonian mechanics), nhưng được nhân thêm một hệ số liên quan đến hằng số Planck. Khám phá này, được gọi là quy tắc Canonical Quantization (Lượng tử hóa Chính tắc), đã cung cấp một cầu nối trực tiếp và thanh lịch giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử.

Không dừng lại ở đó, Dirac nhanh chóng phát triển một khung toán học tổng quát hơn, gọi là lý thuyết biến đổi (transformation theory). Ông chỉ ra rằng cả cơ học ma trận và cơ học sóng thực chất chỉ là hai "hình chiếu" khác nhau của cùng một cấu trúc toán học trừu tượng hơn, mô tả các trạng thái lượng tử như những vector trong một không gian Hilbert và các đại lượng vật lý như những toán tử tác động lên các vector đó. Công trình này đã thống nhất hai cách tiếp cận tưởng chừng riêng rẽ, đặt cơ học lượng tử lên một nền tảng toán học vững chắc và trừu tượng hơn.

Chính trong quá trình này, ông đã giới thiệu ký hiệu bra-ket $\bra{\psi}$ và $\ket{\phi}$. Kí hiệu này cho phép tách biệt bản chất vật lý của trạng thái khỏi cách biểu diễn cụ thể của nó. Sự tinh tế, trực quan và sức mạnh của ký hiệu này khiến nó trở thành ngôn ngữ tiêu chuẩn của cơ học lượng tử cho đến tận ngày nay, đặc biệt là điện toán lượng tử (quantum computing). Minh chứng cho một trực giác xuất sắc về toán học của ông.

Tuy nhiên, đỉnh cao chói lọi nhất trong giai đoạn đầu sự nghiệp của Dirac là nỗ lực hợp nhất cơ học lượng tử với Special Relativity (Thuyết tương đối Hẹp) của Einstein. Schrödinger Equation (Phương trình Schrödinger), dù rất thành công, lại không tuân thủ các nguyên lý của Special Relativity, nhất là khi các electron từ thí nghiệm hầu hết đều chuyển động với tốc độ gần bằng ánh sáng.

Schrödinger Equation coi thời gian là một tham số đặc biệt (chỉ có đạo hàmbậc nhất theo thời gian) trong khi không gian lại xuất hiện dưới dạng đạo hàm bậc hai. Điều này vi phạm nguyên tắc cơ bản của Special Relativity rằng không gian và thời gian là tương đương và liên kết chặt chẽ trong một thực thể không-thời gian bốn chiều. Do đó, Schrödinger Equation chỉ là gần đúng và chỉ áp dụng tốt cho các hạt chuyển động tương đối chậm so với tốc độ ánh sáng.

Các nhà vật lý khác, như Oskar Klein và Walter Gordon, đã cố gắng xây dựng một phương trình tương đối tính (relativistic equation), gọi là Klein-Gordon Equation (Phương trình Klein-Gordon). Phương trình này đối xử với không gian và thời gian một cách đối xứng (đều có đạo hàm bậc hai). Tuy nhiên, nó lại gặp phải hai vấn đề nghiêm trọng. Thứ nhất, nó dẫn đến các nghiệm có thể có mật độ xác suất âm (một điều vô nghĩa về mặt vật lý vì xác suất không thể âm). Thứ hai, việc nó là bậc hai theo thời gian khá trừu tượng (gây khó khăn cho việc diễn giải theo khuôn khổ xác suất thông thường của cơ học lượng tử).

Dirac không hài lòng. Ông tin rằng một phương trình mô tả hạt cơ bản như electron phải là bậc nhất theo thời gian, giống như Schrödinger Equation, để bảo toàn cách diễn giải xác suất thông thường.

Logic của Dirac là thế này:

1. Thuyết tương đối yêu cầu năng lượng $E$, động lượng$p$, và khối lượng nghỉ$m_0$ của một hạt phải tuân theo mối liên hệ $E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$. Klein-Gordon Equation về cơ bản là phiên bản lượng tử hóa của mối liên hệ bậc hai này.
2. Dirac tự hỏi: liệu có thể tìm được một phương trình bậc nhất (hay phương trình tuyến tính; linear equation) mà khi áp dụng hai lần lên chính nó (tương tự như bình phương) thì lại thu được phương trình Klein-Gordon (hay mối liên hệ năng lượng-động lượng bậc hai)? Điều này giống như việc cố gắng "lấy căn bậc hai" của toán tử năng lượng-động lượng tương đối tính.
3. Ông nhanh chóng nhận ra rằng việc này là không thể nếu các hệ số trong phương trình bậc nhất là những con số thông thường. Lấy căn bậc hai của một tổng các bình phương không tạo ra một tổng đơn giản. Nhưng Dirac không bỏ cuộc. Ông suy nghĩ: "Nếu các hệ số không phải là số, mà là một loại đối tượng toán học khác thì sao? Một loại đối tượng mà bình phương của chúng là số, nhưng khi nhân chúng với nhau theo một cách đặc biệt thì các số hạng "chéo" (ví dụ: $p_x p_y$) sẽ triệt tiêu?"
4. Với niềm tin mãnh liệt vào sự hài hòa toán học, Dirac bắt đầu tìm kiếm những đối tượng như vậy. Ông phát hiện ra rằng chúng phải là các ma trận (cụ thể là các ma trận 4x4) với các thuộc tính phản giao hoán (anti-commutative) đặc biệt $pq = -qp$. Sau nhiều nỗ lực, ông đã tìm ra một bộ bốn ma trận (ngày nay gọi là các ma trận gamma (hay ma trận Dirac)) thoả mãn chính xác các điều kiện cần thiết.

Kết quả là Dirac Equation (Phương trình Dirac), ra đời năm 1928. Nó là một phương trình bậc nhất cả về đạo hàm theo thời gian và không gian, hoàn toàn tương thích với Special Relativity. Hàm sóng $\Psi$ trong phương trình này không còn là một số phức đơn giản nữa, mà là một đối tượng bốn thành phần gọi là spinor, và các ma trận gamma thực hiện phép trộn giữa các thành phần này.

$$\begin{align} i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \Psi - mc \Psi = 0 \end{align}$$

Điều đáng kinh ngạc là phương trình này, được xây dựng hoàn toàn dựa trên các yêu cầu về tính tương đối tính và bậc nhất, lại tự động mang đến một hệ quả không ngờ tới: nó giải thích một cách hoàn hảo thuộc tính spin$\frac{1}{2}$ của electron. Spin, một dạng moment động lượng nội tại, trước đó chỉ được đưa vào lý thuyết một cách thủ công để khớp với thực nghiệm. Giờ đây, trong Dirac Equation, spin xuất hiện một cách tự nhiên từ chính cấu trúc toán học của spinor bốn thành phần. Hai thành phần của spinor mô tả electron với spin "lên" và "xuống". Dirac Equation không chỉ đúng về mặt tương đối tính, nó còn sâu sắc hơn cả mong đợi ban đầu. Đó là một chiến thắng huy hoàng của tư duy dựa trên vẻ đẹp và sự nhất quán toán học.

Lời tiên tri về Positron

Nhưng vẻ đẹp nào cũng có cái giá của nó. Cũng giống như phương trình năng lượng $E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$ có hai nghiệm là $E$ và $-E$, Dirac Equation, do cấu trúc "căn bậc hai" của nó, cũng không tránh khỏi việc đưa ra các nghiệm tương ứng với năng lượng âm. Hai thành phần còn lại trong spinor bốn thành phần chính là mô tả các trạng thái năng lượng âm này.

Đây là một cú sốc. Một hạt có năng lượng âm là điều hoàn toàn xa lạ và có vẻ phi lý. Nếu các trạng thái này tồn tại, một electron bình thường (năng lượng dương) sẽ liên tục phát ra photon và rơi xuống các mức năng lượng âm ngày càng thấp hơn, giải phóng năng lượng vô tận. Điều này rõ ràng không xảy ra vì vũ trụ vẫn ổn định.

Nhiều nhà vật lý có lẽ đã coi đây là dấu hiệu cho thấy Dirac Equation có sai sót cơ bản và cần phải loại bỏ các nghiệm âm. Nhưng Dirac thì khác. Ông bị thuyết phục bởi vẻ đẹp toán học và những thành công khác của phương trình (nhất là việc giải thích spin). Ông tin rằng "một phương trình đẹp không thể sai". Thay vì vứt bỏ các nghiệm âm, ông cố gắng tìm một cách diễn giải chúng.

Năm 1930, Dirac đưa ra một trong những ý tưởng táo bạo và độc đáo nhất trong lịch sử vật lý, giả thuyết biển Dirac (Dirac sea). Ông hình dung trạng thái chân không không phải là trống rỗng, mà là một "biển" vô hạn các trạng thái năng lượng âm đã bị các electron lấp đầy hoàn toàn. Pauli Exclusion Principle (Nguyên lý loại trừ Pauli) nói rằng không có hai electron nào có thể cùng chiếm một trạng thái lượng tử, do đó, biển năng lượng âm này sẽ ngăn cản các electron ở trạng thái năng lượng dương rơi xuống biển đã đầy, đảm bảo sự ổn định của vật chất.

Dirac lập luận rằng nếu có đủ năng lượng (ví dụ, từ một photon năng lượng cao) cung cấp cho một electron đang nằm yên trong biển năng lượng âm, electron đó có thể được "nhấc" lên một trạng thái năng lượng dương, trở thành một electron bình thường mà chúng ta quan sát được. Nhưng khi nó rời đi, nó để lại một "chỗ trống" hay "lỗ hổng" trong biển năng lượng âm.

Và ông cho rằng lỗ trống này sẽ hành xử như một hạt, hãy suy nghĩ về các thuộc tính của nó so với trạng thái chân không (biển đầy):

1. Điện tích: Biển đầy có tổng điện tích âm vô hạn. Lỗ trống là sự vắng mặt của một điện tích âm (-e) so với biển đầy. Do đó, nó biểu hiện như một hạt có điện tích dương (+e).
2. Năng lượng: Biển đầy có tổng năng lượng âm vô hạn. Lỗ trống là sự vắng mặt của một năng lượng âm so với biển đầy. Sự vắng mặt của năng lượng âm lại tương đương với năng lượng dương so với chân không.
3. Khối lượng: Vì nó là sự thiếu vắng một electron, nó phải có cùng khối lượng với electron.

Như vậy, từ việc cố gắng diễn giải một cách hợp lý dấu trừ trong nghiệm năng lượng của phương trình toán học, Dirac đã bị buộc phải đi đến kết luận về sự tồn tại của một hạt hoàn toàn mới: một "phản electron", có cùng khối lượng với electron nhưng mang điện tích dương.

Lời tiên đoán này ban đầu gặp phải sự hoài nghi lớn. Ý tưởng về một biển electron vô hạn lấp đầy chân không nghe có vẻ quá kỳ lạ. Nhưng Dirac kiên định với logic của mình. Và chỉ hai năm sau, vào năm 1932, nhà vật lý thực nghiệm người Mỹ Carl Anderson, khi đang phân tích các bức ảnh chụp trong buồng mây để nghiên cứu tia vũ trụ, đã tình cờ phát hiện ra dấu vết của một hạt lạ. Hạt này bị lệch trong từ trường theo hướng ngược lại với electron, chứng tỏ nó mang điện tích dương, nhưng độ cong của quỹ đạo lại cho thấy nó có khối lượng tương đương với electron. Anderson đã vô tình tìm thấy chính hạt mà Dirac tiên đoán. Hạt này được đặt tên là positron.

Đó là một khoảnh khắc định nghĩa cho vật lý thế kỷ 20. Lần đầu tiên, sự tồn tại của một loại vật chất mới, phản vật chất, được suy ra không phải từ gợi ý thực nghiệm mà từ sự chặt chẽ và vẻ đẹp của một phương trình toán học. Nó khẳng định niềm tin sắt đá của Dirac: "toán học không chỉ là công cụ mô tả tự nhiên, mà còn có thể dẫn đường đến những khám phá về cấu trúc sâu xa nhất của nó". Phát hiện positron đã mở ra cả một chương mới về đối xứng vật chất-phản vật chất và củng cố vị thế của Dirac Equation như một trong những trụ cột của vật lý hiện đại. Thành tựu này đã mang lại cho Dirac giải Nobel Vật lý năm 1933 (cùng với Schrödinger).

Feynman và cuộc cách mạng lượng tử tiếp theo

Sự ra đời của Feynman Path Integral

Trong khi Dirac đang đặt những viên gạch nền móng cho lý thuyết lượng tử tương đối tính, Richard Feynman, sau khi hoàn thành bằng tiến sĩ tại Princeton (luận án của ông, dưới sự hướng dẫn của Wheeler, chính là về công thức tích phân đường (path integral), dù chưa được công bố rộng rãi), đã lao vào một thử thách rất khác: Dự án Manhattan. Tại Los Alamos, giữa sa mạc New Mexico, ông làm việc cùng những bộ óc hàng đầu thế giới để chế tạo bom nguyên tử.

Feynman nhanh chóng nổi tiếng không chỉ vì khả năng tính toán phi thường (ông lãnh đạo nhóm tính toán, sử dụng cả máy tính cơ IBM và các phương pháp tính tay hiệu quả) mà còn vì tính cách sôi nổi, sự tò mò vô biên và thói quen phá phách tinh nghịch. Ông học cách phá khóa tủ hồ sơ của đồng nghiệp để trêu chọc và chứng minh lỗ hổng an ninh, thể hiện một tinh thần không bao giờ chấp nhận giới hạn hay quy tắc một cách mù quáng.

Những năm tháng ở Los Alamos cũng là giai đoạn xảy ra bi kịch lớn nhất của Feynman, khi mà người vợ đầu tiên của ông, Arline Greenbaum, người ông yêu tha thiết từ thời trung học và kết hôn bất chấp căn bệnh lao hiểm nghèo của cô, đã qua đời tại một bệnh viện gần đó vào năm 1945, không lâu trước vụ thử bom Trinity. Nỗi đau mất Arline ảnh hưởng sâu sắc đến Feynman, dù ông thường che giấu nó sau vẻ ngoài hài hước.

Sau chiến tranh, Feynman nhận vị trí giáo sư tại Đại học Cornell. Vật lý lý thuyết lúc này đang đối mặt với một cuộc khủng hoảng mới. Dirac Equation mô tả hoàn hảo electron tự do, nhưng khi các nhà vật lý cố gắng sử dụng nó để tính toán sự tương tác giữa electron và photon, lĩnh vực cốt lõi củaQuantum Electrodynamics (hay QED; Điện động lực học Lượng tử), họ liên tục vấp phải những kết quả vô hạn (divergences). Các phép tính cho những hiệu ứng tinh tế, như sự tự tương tác của electron với trường điện từ của chính nó, đều cho ra những con số vô cùng lớn, khiến lý thuyết trở nên vô dụng để đưa ra dự đoán chính xác. Cần có một cách tiếp cận mới.

Đây là lúc công trình mà Feynman đã ấp ủ từ thời nghiên cứu sinh thực sự tỏa sáng. Ông không đi theo con đường phức tạp của các toán tử trường lượng tử mà Julian Schwinger và Sin-Itiro Tomonaga (làm việc độc lập ở Mỹ và Nhật Bản) đang phát triển. Thay vào đó, Feynman quay lại với ý tưởng cốt lõi của mình là tích phân đường.

Xuất phát điểm của Feynman là một câu hỏi rất trực quan: Tại sao trong vật lý cổ điển, một vật thể dường như luôn đi theo con đường đòi hỏi tác động, (một đại lượng liên quan đến năng lượng và thời gian), là nhỏ nhất (theo Least Action Principle)? Liệu có phải đó là con đường duy nhất khả dĩ? Cơ học lượng tử vốn chấp nhận sự bất định và nhiều khả năng cùng tồn tại, vậy tại sao lại có một con đường được ưu tiên như vậy?

Dựa trên một gợi ý tinh tế trong một bài báo cũ của Dirac về vai trò của hàm Lagrange (Lagrangian function) trong cơ học lượng tử, và trực giác riêng của mình, Feynman hình dung như sau:

1. Một hạt lượng tử đi từ điểm A đến điểm B trong không-thời gian không đi theo một đường duy nhất. Thay vào đó, nó đồng thời khám phá tất cả mọi con đường có thể tưởng tượng được nối A và B, dù những con đường đó có ngoằn ngoèo, kỳ lạ đến đâu.
2. Mỗi con đường này không đóng góp như nhau. Feynman gán cho mỗi đường một Biên độ – một xác suất. Độ lớn của biên độ này là như nhau cho mọi đường, nhưng pha lại được quyết định bởi tác động $S$ của chính con đường đóx.
3. Để tìm biên độ xác suất tổng cộng cho việc hạt đi từ A đến B, ta phải cộng tất cả các biên độ ứng với từng con đường lại với nhau. Vì có vô số con đường, phép cộng này trở thành một phép tích phân trên không gian của tất cả các con đường – tích phân đường.
4. Vì tác động S thay đổi rất nhanh từ đường này sang đường khác. Do đó, các pha $e^{(iS/ħ)}$ của các con đường tùy ý thường khác nhau rất nhiều và khi cộng lại, chúng có xu hướng triệt tiêu lẫn nhau (giống như các sóng lệch pha hủy nhau). Tuy nhiên, xung quanh con đường có tác động cực tiểu (hoặc cực trị), tác động thay đổi rất chậm. Các con đường gần đó sẽ có pha gần giống nhau và cộng hưởng với nhau. Kết quả là, mặc dù mọi con đường đều đóng góp về nguyên tắc, nhưng trên thực tế, xác suất tập trung cao độ quanh con đường cổ điển.

Và đây chính là Feynman Path Integral (Tích phân đường Feynman), công thức này không chỉ tái tạo lại kết quả của cơ học lượng tử thông thường mà còn cung cấp một cách hiểu sâu sắc và trực quan hơn về bản chất của nó. Nó giải thích nguồn gốc của Least Action Principle tối thiểu từ các nguyên tắc lượng tử cơ bản hơn. Nó xem sự chồng chập lượng tử (superposition) không chỉ là trạng thái tĩnh, mà là một quá trình động lực học của việc "thử nghiệm" mọi khả năng.

$$\begin{align} \Psi(x) = \int e^{(iS/\hbar)} \mathcal{D}x(t) \end{align}$$

Sự ra đời của Feynman Diagram

Để áp dụng công cụ mạnh mẽ này vào các bài toán QED phức tạp với nhiều hạt tương tác, Feynman đã phát minh ra một ngôn ngữ hình ảnh thiên tài: Feynman Diagram (Biểu đồ Feynman). Các biểu đồ này, trông như những hình vẽ đơn giản với các đường thẳng (electron), đường lượn sóng (photon) và các nút giao (tương tác), thực chất là một cách mã hóa trực quan cho các quá trình vật lý và các phép tính toán học tương ứng. Mỗi thành phần của biểu đồ (đường, nút) tương ứng với một thừa số cụ thể trong biểu thức tính biên độ xác suất.

Feynman Diagram đã cách mạng hóa các phép tính trong vật lý hạt, biến những bài toán vốn cực kỳ trừu tượng và khó khăn thành các quy trình gần như cơ học, dễ hình dung hơn rất nhiều. Và chính trong khuôn khổ của Feynman Path Integral và Feynman Diagram, Feynman đã đưa ra một cách diễn giải mới lạ và đầy sức mạnh cho positron – phản hạt mà Dirac đã tiên đoán từ biển năng lượng âm.

Những ví dụ tuyệt đẹp về sự đối nghịch của hai thiên tài

Positron: Lỗ trống và Du hành thời gian

Khi xem xét các nghiệm của Dirac Equation trong không-thời gian, Feynman nhận ra rằng, về mặt toán học, một nghiệm mô tả electron (năng lượng dương) đi tới trong thời gian hoàn toàn tương đương với một nghiệm mô tả electron (về mặt lý thuyết là năng lượng âm) đi ngược trong thời gian.

Feynman quyết định diễn giải điều này một cách trực diện: Một positron chính là một electron đang di chuyển ngược chiều thời gian.

Hãy hình dung điều này trên Feynman Diagram. Một đường thẳng có mũi tên chỉ về phía tương lai biểu diễn một electron đi tới. Nếu một đoạn của đường này quay ngược lại, mũi tên chỉ về quá khứ, thì đối với người quan sát trong dòng thời gian thông thường, đoạn đi ngược đó sẽ trông giống hệt như một hạt có cùng khối lượng nhưng điện tích ngược lại (vì dòng điện tích bị đảo chiều) đang đi tới trong thời gian. Hạt đó chính là positron.

Như vậy, sự kiện một cặp electron-positron được tạo ra từ năng lượng (photon) có thể được hình dung như một đường electron duy nhất trong không-thời gian đang di chuyển tới, rồi tại một điểm, nó bị photon "đá" ngược trở lại quá khứ một đoạn (tạo ra electron quan sát được), và phần đi ngược thời gian này (xuất hiện như positron) tiếp tục đi tới trong thời gian. Tương tự, sự hủy cặp electron-positron tạo ra photon có thể hình dung như một electron đi tới gặp một "electron đi ngược thời gian" (positron), và tại điểm gặp nhau, đường đi của electron đổi hướng thành đi tới trong thời gian trở lại. Một hình ảnh, một trực giác tuyệt đối tuyệt vời.

Cách diễn giải của Feynman về positron là một minh chứng nữa cho sự đối nghịch tuyệt đẹp giữa ông và Dirac:

• Dirac: Nhìn positron như một thực thể tĩnh, một "sự thiếu vắng" (lỗ trống) trong cấu trúc nền tảng của chân không (biển Dirac), được suy ra từ sự cần thiết phải làm cho các nghiệm năng lượng âm của phương trình toán học trở nên có ý nghĩa vật lý. Đó là cái nhìn cấu trúc, dựa trên trạng thái.
• Feynman: Nhìn positron như một thực thể động lực học, một quá trình (electron đi ngược thời gian) diễn ra trong không-thời gian, được suy ra từ việc diễn giải các giải pháp toán học trong khuôn khổ Feynman Path Integral và biểu đồ. Đó là cái nhìn quá trình, dựa trên lịch sử.

Một người bắt đầu từ phương trình trừu tượng và đi đến một mô hình vật lý tĩnh. Người kia bắt đầu từ một hình ảnh trực quan về các con đường và đi đến một diễn giải trực quan. Dirac dùng logic toán học để tiên đoán. Feynman dùng trực giác để hình dung. Cả hai cách nhìn, dù khác biệt về mặt triết học và hình ảnh, lại hoàn toàn tương đương về mặt toán học và cùng mô tả chính xác các hiện tượng liên quan đến positron. Chúng đối nghịch và bổ sung cho nhau, cho thấy vẻ đẹp của một điểm giao, một chân lí được tiếp cận bởi những bộ óc thiên tài khác nhau.

Path Integral: Toán học hình thức và trực quan phá cách

Như đã đề cập, Feynman Path Integral được lấy cảm hứng trực tiếp từ một bài báo của Dirac về vai trò của hàm Lagrange trong cơ học lượng tử (1933), trong đó, dạng nguyên bản của Feynman Path Integral là:

$$\begin{align} \bra{q_2, t_2} \ket{q_1, t_1} \sim e^{\frac{i}{\hbar} S[q(t)]} \end{align}$$

Sự khác nhau nằm ở chỗ, Dirac vẫn lấy toán tử và đại số làm trung tâm, còn Feynman dùng tác động làm trung tâm.

Dirac quan niệm rằng vật lý lượng tử là về đại số giữa các [[observable]], tức là toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert. Trong khi Feynman Path integral lại đi một hướng khác: không cần toán tử, chỉ cần tích phân trên không gian cấu hình. Điều này đi ngược với triết lý của Dirac. Ông xem các thành phần cơ bản là các đại lượng đo được xác định, chứ không phải là các biên độ xác suất bất định.

Dirac không thích cách làm "không hình thức" và "phi toán học" của Feynman Path Integral. Ông là người theo chủ nghĩa hình thức mạnh mẽ, thích những gì có đối xứng, có cấu trúc đại số, có nghĩa bất biến. Với ông, lượng tử hoá là biến toán tử đại số, không phải tích phân trên không gian vô hạn chiều chưa xác định.

Hơn nữa, về mặt lượng tử hoá hệ ràng buộc, Feynman Path Integral không tối ưu. Những hệ như Yang-Mills không chọn gauge, General Relativity có ràng buộc đại số (constraint algebra) phức tạp.

Trong khi đó Feynman Path integral thường phải chọn gauge và giải quyết gauge riêng, còn Dirac có nhiều công cụ làm điều đó một cách hình học hơn.

Điểm giao này làm nổi bật trường phái Dirac (toán học hình thức, đại số, hình học bất biến và xác định) và trường phái Feynman (trực quan vật lý, giải tích, tích phân vô hạn chiều và bất định).

Giai đoạn tái chuẩn hoá QED

Lượng tử hoá là quá trình chuyển đổi một lý thuyết cổ điển thành một lý thuyết lượng tử. Đó là một bước quan trọng trong việc xây dựng lý thuyết cơ học lượng tử cho hiện tượng vật lí, nơi các toán tử là không giao hoán. Tuy nhiên, khi áp dụng lý thuyết này vào các hạt tương tác, như electron và photon, các nhà vật lý đã gặp phải một vấn đề lớn: các phép tính cho ra những giá trị vô hạn không thể đo được. Quá trình này đã được thực hiện từ năm 1925 (bắt đầu với cơ học ma trận của Heisenberg) và hoàn thành vào năm 1930 (kết thúc bằng tác phẩm The Principles of Quantum Mechanics của Dirac).

Tái chuẩn hoá (renormalization) là quá trình điều chỉnh các tham số trong lý thuyết để loại bỏ các vô hạn xuất hiện trong các phép tính, bằng cách thay thế các tham số ban đầu bằng các tham số hiệu dụng (effective parameters) mà có thể đo được trong thực nghiệm. Điều này cũng chính là điều mà Max Planck, cha đẻ của cơ học lượng tử, đã làm để giải quyết vấn đề năng lượng vô cực, hay còn gọi là thảm hoạ cực tím (ultraviolet catastrophe), trong bài toán bức xạ vật đen (black body radiation). Quá trình này đã được thực hiện từ năm 1947 đến năm 1950 (đối với QED).

Thành công rực rỡ của Feynman với QED

Cả Feynman, Schwinger và Tomonaga, dù bằng các phương pháp khác nhau, cuối cùng đều đi đến cùng một giải pháp cho vấn đề vô hạn trong QED. Ý tưởng cơ bản của tái chuẩn hoá là khá tinh tế. Các nhà vật lý nhận ra rằng những giá trị vô hạn xuất hiện trong các phép tính (ví dụ, khi tính năng lượng của một electron tương tác với "đám mây" photon ảo mà nó liên tục phát ra và hấp thụ) thực chất là do chúng ta đang cố gắng tính toán các đại lượng trần trụi (bare quantities) – khối lượng và điện tích của electron nếu nó hoàn toàn cô lập, không tương tác. Nhưng trong thực tế, chúng ta không bao giờ đo được các đại lượng trần trụi này. Cái chúng ta đo được trong phòng thí nghiệm là các đại lượng mặc quần áo (dressed quantities) khối lượng và điện tích, tức là đã bao gồm tất cả các hiệu ứng tương tác lượng tử phức tạp đó.

Người ta thường đùa rằng: "các nhà vật lí giỏi trong việc khám phá, nhưng lại tệ trong việc đặt tên", tuy nhiên ... tôi chưa bao giờ thất vọng hay ngừng thán phục về sự tinh tế trong tên của các khái niệm vật lí (và cả khoa học máy tính).

Kỹ thuật tái chuẩn hoá về cơ bản là một quy trình toán học có hệ thống để thừa nhận rằng chúng ta không biết các giá trị trần trụi (bare values). Thay vào đó, chúng ta "hấp thụ" các phần vô hạn trong phép tính vào việc định nghĩa lại các tham số trần trụi này. Sau đó, chúng ta diễn đạt mọi kết quả cuối cùng chỉ bằng các đại lượng vật lý hữu hạn, có thể đo được trong phòng thí nghiệm (khối lượng và điện tích thực nghiệm). Điều kỳ diệu là, sau khi thực hiện quy trình này một cách nhất quán, tất cả các giá trị vô hạn đều biến mất khỏi các dự đoán vật lý cuối cùng, để lại những kết quả hữu hạn và cực kỳ chính xác.

QED sau khi được tái chuẩn hoá đã trở thành một thành công vang dội. Nó có thể dự đoán các hiệu ứng lượng tử tinh vi như dịch chuyển Lamb (Lamb shift) và moment từ dị thường (singular) của electron với độ chính xác đáng kinh ngạc, khớp hoàn hảo với thực nghiệm đến hơn 10 chữ số thập phân. Thành tựu này đã mang lại giải Nobel Vật lý năm 1965 cho Feynman (cùng Schwinger và Tomonaga).

Dịch chuyển Lamb là sự chênh lệch nhỏ về năng lượng giữa hai trạng thái của nguyên tử hydro mà lý thuyết Dirac ban đầu không giải thích được. Còn moment từ dị thường của electron là sự sai khác nhỏ so với giá trị mà Dirac Equation dự đoán.

QED là nền tảng của Standard Model (Mô hình Chuẩn), mô hình vĩ đại nhất của nhân loại, mô tả ba trong bốn lực cơ bản và tất cả các hạt đã biết, là ngôn ngữ của vật lý vật chất ngưng tụ, vũ trụ học sơ khai, v.v. và là khuôn khổ cho rất nhiều công nghệ hiện nay như bán dẫn, siêu dẫn, MRI, v.v. và sẽ còn vô số ứng dụng trong tương lai. Chỉ khi tìm hiểu về QED và Standard Model mới thấy được nó thực sự "peak" như thế nào, nó là một thành tựu khó tin, một chiến thắng huy hoàng và là đỉnh cao nhất mà trí tuệ loài người đã chinh phục được trong suốt hàng triệu năm tiến hoá.

Tầm nhìn vượt xa thời đại và con đường riêng của Dirac

Không chỉ là người khai sinh ra positron và đặt nền móng cho QFT/QED, Dirac còn đặt nền móng cho nhiều khái niệm mà ngày nay vẫn là trung tâm của vật lý hiện đại, đặc biệt là trong các nỗ lực xây dựng Quantum Gravity (Lí thuyết Hấp dẫn Lượng tử). Trong khi hầu hết các nhà vật lý thời đó (kể cả Einstein) còn phân vân giữa sóng và hạt, giữa xác suất và định mệnh, Dirac là người đầu tiên khẳng định rằng: "toán học cần được ưu tiên hơn trực giác vật lý".

Ông tin rằng cấu trúc toán học là kim chỉ nam. Nếu một phương trình là “đẹp” về mặt toán học, thì nó xứng đáng được xem xét nghiêm túc như một mô tả của tự nhiên. Dirac Equation – một phương trình đơn giản nhưng đầy đối xứng – không chỉ thống nhất cơ học lượng tử và thuyết tương đối, mà còn dự đoán chính xác sự tồn tại của positron trước khi nó được phát hiện.

Từ nền tảng này, Dirac sớm hướng sự chú ý của mình đến thời gian cong và trường hấp dẫn khi các đồng nghiệp của ông vẫn mải mê với QED. Trong nhiều bài báo sau này, ông phê phán việc lạm dụng các kỹ thuật tái chuẩn hoá, coi đó là dấu hiệu của một lý thuyết chưa hoàn thiện, và cho rằng: "sự cần thiết phải bỏ qua các vô hạn là dấu hiệu cho thấy ta chưa thực sự hiểu được bản chất sâu xa của tự nhiên".

Và đây cũng là lí do ông tránh khỏi công cuộc tái chuẩn hoá và QED, ông thực sự không hoàn toàn hài lòng với quy trình này và coi đó là một trick toán học để "quét các giá trị vô hạn dưới tấm thảm" thay vì giải quyết vấn đề gốc rễ, và ông luôn hy vọng về một lý thuyết cơ bản và tinh tế hơn nữa. Ông tìm kiếm một lý thuyết nơi hằng số Planck $h$ và hằng số hấp dẫn (gravitational constant) $G$ kết hợp một cách tự nhiên. Dù không đưa ra một mô hình hoàn chỉnh, nhưng với những gì Dirac để lại:

• Spinor Theory (Lí thuyết Spinor) trong không-thời gian cong
• Constraint Quantization (Lượng tử hóa Ràng buộc)
• Hamiltonian formulation of General Relativity (Thuyết tương đối Rộng theo Hình thức Hamilton), viết lại toàn bộ General Relativity (Thuyết tương đối Rộng) dưới hình thức Hamilton, cho phép áp dụng các phép lượng tử hoá lên nó
• Canonical Quantization phiên bản mới
• Invariant Formulation (Bất biến Đồng dạng), Canonical Geometric Form (Dạng Chuẩn Hình học), v.v.

Toàn bộ đều là những viên gạch đầu tiên và là khuôn khổ toán học bắt buộc, chi phối các lý thuyết hiện đại như Twistor Theory (Lí thuyết Twistor), Scattering Amplitudes (Biên độ Tán xạ), hay bộ đôi Quantum Gravity (Lí thuyết Hấp dẫn Lượng tử) và Loop Quantum Gravity (Lí thuyết Hấp dẫn Lượng tử Vòng), hay thập chí là bộ đôi String Theory (Lí thuyết Dây) và M-Theory (Lí thuyết M) hiện đại.

Dirac không đi theo đám đông, mà bước đi một mình, nhưng là người mở đường. Và rất nhiều nhà vật lý lý thuyết hiện nay đang lần theo dấu chân ông trong hành trình tìm kiếm lý thuyết cuối cùng, tầm nhìn của ông là một tầm nhìn thuần tuý, vô song và vượt xa thời đại.

Hai con người, hai số phận,...

Sau đỉnh cao Nobel, cuộc sống và sự nghiệp của hai người tiếp tục đi theo những con đường rất khác nhau, phản ánh đúng bản chất của họ.

Paul Dirac

Ông tiếp tục theo đuổi những câu hỏi nền tảng nhất của vật lý với sự trầm lặng và độc lập vốn có.

Ông dành nhiều thời gian suy nghĩ về các hằng số cơ bản của tự nhiên và mối liên hệ giữa chúng. Một trong những ý tưởng độc đáo của ông là sự tồn tại của đơn cực từ (magnetic monopoles), những hạt mang "từ tích" riêng lẻ, tương tự như điện tích. Ông chỉ ra rằng nếu đơn cực từ tồn tại, nó sẽ giải thích một cách tự nhiên tại sao điện tích lại bị lượng tử hóa (luôn xuất hiện dưới dạng bội số nguyên của một điện tích cơ bản $e$). Đây lại là một ví dụ về việc Dirac suy luận ra những hệ quả vật lý sâu sắc từ các yêu cầu về đối xứng và sự nhất quán toán học. Dù đơn cực từ chưa bao giờ được tìm thấy thực nghiệm, ý tưởng này vẫn tiếp tục truyền cảm hứng cho các nhà lý thuyết.

Về cuộc sống cá nhân, Dirac vẫn giữ sự kiệm lời và có phần lập dị. Năm 1937, ông kết hôn với Margit Wigner (Manci), em gái của nhà vật lý lỗi lạc Eugene Wigner. Manci là một người phụ nữ sôi nổi, hoàn toàn trái ngược với Dirac, và cuộc hôn nhân của họ tạo ra nhiều giai thoại thú vị. Manci thường phải "phiên dịch" sự im lặng hoặc những câu nói cực kỳ cô đọng của chồng cho khách. Có lần, khi có khách đến thăm, Dirac giới thiệu: "Đây là Wigner, em gái của ông ấy". (Wigner ở đây là Eugene Wigner). Ông nổi tiếng là người cực kỳ trung thực và không biết nói dối hay thậm chí là nói những lời xã giao thông thường. Khi ai đó hỏi ông cảm thấy thế nào, ông sẽ suy nghĩ và trả lời một cách chính xác nhất về trạng thái thể chất hoặc tinh thần của mình lúc đó.

Sau khi nghỉ hưu ở Cambridge năm 1969, Dirac chuyển đến Đại học Bang Florida ở Tallahassee, nơi ông tiếp tục nghiên cứu cho đến cuối đời. Ông qua đời năm 1984. Tấm bia tưởng niệm ông tại Tu viện Westminster, London – một vinh dự chỉ dành cho những nhân vật kiệt xuất nhất của nước Anh, chỉ khắc một dòng duy nhất: Dirac Equation. Một di sản cô đọng, thanh lịch và mạnh mẽ, giống như chính con người và lí tưởng của ông.

Richard Feynman

Trái ngược hoàn toàn, những năm tháng sau này của Feynman là một chuỗi những hoạt động sôi nổi, đa dạng và ngày càng hướng ra công chúng. Ông trở thành một huyền thoại tại Viện Công nghệ California (Caltech), nơi ông làm việc từ năm 1950 cho đến cuối đời.

Ông là một nhà giáo dục bẩm sinh. Bộ ba cuốn The Feynman Lectures on Physics (Bài giảng Vật lý của Feynman), ghi lại các bài giảng ông thực hiện cho sinh viên năm nhất và năm hai tại Caltech đầu những năm 1960, đã trở thành kinh điển tuyệt đối. Chúng không chỉ trình bày vật lý một cách chính xác mà còn truyền đạt được cái tinh thần của vật lý – sự tò mò, niềm vui khám phá, cách tư duy trực quan – theo một cách mà không sách giáo khoa nào khác làm được. Feynman có khả năng giải thích những khái niệm phức tạp nhất bằng những ví dụ đời thường và ngôn ngữ giản dị, đầy nhiệt huyết. Những bài giảng này đã truyền cảm hứng cho vô số nhà khoa học hay thậm chí là các tỷ phú thế giới, bao gồm cả Bill Gates, Elon Musk, và Steve Jobs.

Feynman không những là một người kể chuyện bậc thầy và một nhân vật công chúng được yêu mến, mà còn là một người có cuộc sống phong phú: một tay trống bongo cừ khôi, một họa sĩ nghiệp dư tài năng, một người thích phá khóa và giải mật mã, một người bị mê hoặc bởi những nền văn hóa xa lạ (như nỗ lực giải mã chữ viết Maya hay hành trình tìm đến đất nước Tuva xa xôi ở Trung Á chỉ vì tên gọi của nó nghe thú vị). Ông thể hiện hình ảnh một nhà khoa học toàn năng nhưng lại gần gũi, hài hước, và luôn giữ được sự tò mò như trẻ thơ.

Năm 1960, ông kết hôn với người vợ thứ ba, Gweneth Howarth, một phụ nữ người Anh, và họ có với nhau một người con trai, Carl, và nhận nuôi một cô con gái, Michelle. Cuộc hôn nhân này mang lại sự ổn định và hạnh phúc cho Feynman trong những năm cuối đời.

Feynman đã chiến đấu với hai loại ung thư hiếm gặp trong suốt thập kỷ cuối đời. Ông trải qua nhiều cuộc phẫu thuật và điều trị đau đớn nhưng vẫn giữ tinh thần lạc quan và sự hài hước. Ông qua đời vào năm 1988. Lời cuối cùng của ông, được kể lại là: "I'd hate to die twice. It's so boring." (Tôi ghét phải chết hai lần. Nó thật là nhàm chán.). Câu nói này có lẽ một sự ám chỉ đến nỗi đau mất người vợ đầu tiên Arline nhiều năm về trước, khi ông đã trải qua một "cái chết" về mặt tinh thần. Dù thế nào, nó cũng mang đậm dấu ấn của Feynman: thẳng thắn, có chút bất cần, và không thiếu một tia nhìn độc đáo về cuộc sống và cái chết. Bảng đen trong văn phòng của ông tại Caltech sau khi ông mất vẫn còn dòng chữ: "What I cannot create, I do not understand." (Những gì tôi không thể tạo ra, tôi không hiểu được.), một câu nói thể hiện triết lý học và lí tưởng làm khoa học của ông.

...Và một di sản

Dirac để lại một di sản của sự thanh lịch toán học và tư duy thuần túy, của những tiên đoán táo bạo xuất phát từ logic nội tại, của nền tảng vững chắc cho nhiều lý thuyết Feynman để lại một di sản của những công cụ mạnh mẽ và trực quan, của bài giảng bất hủ, của chính cuộc đời đầy màu sắc của ông, một nguồn cảm hứng bất tận.

Họ cùng nhau, dù theo những cách rất khác nhau, đã xây dựng nên QED, một trong những thành tựu vĩ đại nhất của khoa học. Dirac là thần tượng lớn nhất của Feynman, ông đã từng nói rằng ông coi The Principles of Quantum Mechanics như Kinh thánh và thờ phụng cuốn thánh đó. Ông luôn run khi gặp Dirac và nói rằng Dirac ít nói, nhưng mỗi lần Dirac phát biểu điều gì thì mọi người đều im lặng lắng nghe như thể nghe thánh nhân nói chuyện. Họ đã gặp nhau tổng cộng 3 lần.

Cuộc gặp đầu tiên của họ vào năm 1946 rất ngắn ngủi và không hiệu quả. Dirac hỏi: "Cậu có phương trình không?" Feynman là người mới bắt đầu vào thời điểm đó, không có phương trình, nên Dirac bỏ đi sau một hồi im lặng.

Hai năm sau, 1948, Feynman có cơ hội thứ hai để gây ấn tượng với Dirac, nhờ vào Robert Oppenheimer, lãnh đạo của ông tại Dự án Manhattan, người tình cờ cũng là bạn thân của Dirac. Oppenheimer đã tổ chức thành công các hội nghị vật lý đầu tiên sau chiến tranh tại Hoa Kỳ và quy tụ những bộ óc lỗi lạc nhất thời bấy giờ như Bohr, Fermi, Dirac và Bethe. Dưới sự chỉ đạo của Oppenheimer, các nhà vật lý một lần nữa giải quyết những vấn đề lớn nhất chưa được giải quyết trước chiến tranh. Một số người có thể coi đó là điều khá trớ trêu khi cùng một người đứng đầu chương trình vũ khí hạt nhân cũng là người giúp khôi phục lại công việc hợp tác trong vật lý.

Và một trong trong những hội nghị do Oppenheimer tổ chức, Feynman đã có bài giảng về QED và giới thiệu với thế giới lần đầu tiên Feynman Diagram. Ông đã vẽ những bức vẽ kỳ lạ lên bảng đen, những đường nét có nhiều hình dạng khác nhau: thẳng, chấm bi và ngoằn ngoèo trong suốt bài giảng, khiến những người tri thức, bao gồm cả Dirac, nhìn ông với vẻ bối rối. Vậy là Feynman đã thành công trong việc tạo ra dấu ấn.

Cuộc gặp gỡ cuối cùng của họ diễn ra vào năm 1962, từ đó xuất hiện bức ảnh ở thumbnail, cũng là bức ảnh mang tính biểu tượng của bộ đôi này, có thể thấy dấu vết của thời gian đã hằn rõ lên khuôn mặt của hai người. Bức ảnh được chụp bởi nhiếp ảnh gia người Ba Lan Marek Holzman trong hội nghị về Theory of Relativity ở Warsaw. Feynman sau này nhớ lại rằng những hội nghị do Oppenheimer tổ chức là những hội nghị tuyệt vời nhất mà ông từng tham dự. Đó là những lần đầu tiên và quan trọng nhất của ông với những ông lớn trong ngành vật lý.

Ông đã không tham dự các hội nghị Solvay một lần nào (hội nghị nổi tiếng nhất trong lịch sử vật lý) vì tính cách phóng khoáng, ghét sự hàn lâm và các nghi lễ của ông.

Người ta cho rằng cuộc trò chuyện cuối cùng đó đã diễn ra như sau:

Feynman: Xin chào lần nữa. Tôi là Feynman.
Dirac: Tôi là Dirac.
Feynman (ngưỡng mộ): Thật tuyệt vời khi là người khám phá ra phương trình đó. (ý ông là phương trình Dirac)
Dirac: Chuyện đó đã xảy ra từ lâu rồi. (1928)
Một khoảng lặng...
Dirac: Hiện tại cậu đang làm gì?
Feynman: Meson.
Dirac: Cậu đang cố tìm một phương trình cho chúng phải không?
Feynman: Không, rất khó!
Dirac: Người ta phải thử.